﻿ ]> Faulhaber's Formula for p = 1..100

# Faulhaber's Formula for p = 1..100

Note: This page uses MathML. To view it properly, you need a MathML-enabled browser. You may also have to install some fonts.

Faulhaber's formula gives the sum of the first n pth powers of natural integers for different values of p. For more information, see:

The values presented below were computed in 2015 using a Python program.

 $\sum _{k=1}^{n}{k}^{1}=\frac{1}{2}\left({n}^{2}+n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{2}=\frac{1}{6}\left(2{n}^{3}+3{n}^{2}+n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{3}=\frac{1}{4}\left({n}^{4}+2{n}^{3}+{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{4}=\frac{1}{30}\left(6{n}^{5}+15{n}^{4}+10{n}^{3}-n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{5}=\frac{1}{12}\left(2{n}^{6}+6{n}^{5}+5{n}^{4}-{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{6}=\frac{1}{42}\left(6{n}^{7}+21{n}^{6}+21{n}^{5}-7{n}^{3}+n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{7}=\frac{1}{24}\left(3{n}^{8}+12{n}^{7}+14{n}^{6}-7{n}^{4}+2{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{8}=\frac{1}{90}\left(10{n}^{9}+45{n}^{8}+60{n}^{7}-42{n}^{5}+20{n}^{3}-3n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{9}=\frac{1}{20}\left(2{n}^{10}+10{n}^{9}+15{n}^{8}-14{n}^{6}+10{n}^{4}-3{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{10}}=\frac{1}{66}\left(6{n}^{11}+33{n}^{10}+55{n}^{9}-66{n}^{7}+66{n}^{5}-33{n}^{3}+5n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{11}}=\frac{1}{24}\left(2{n}^{12}+12{n}^{11}+22{n}^{10}-33{n}^{8}+44{n}^{6}-33{n}^{4}+10{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{12}}=\frac{1}{2730}\left(210{n}^{13}+1365{n}^{12}+2730{n}^{11}-5005{n}^{9}+8580{n}^{7}-9009{n}^{5}+4550{n}^{3}-691n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{13}}=\frac{1}{420}\left(30{n}^{14}+210{n}^{13}+455{n}^{12}-1001{n}^{10}+2145{n}^{8}-3003{n}^{6}+2275{n}^{4}-691{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{14}}=\frac{1}{90}\left(6{n}^{15}+45{n}^{14}+105{n}^{13}-273{n}^{11}+715{n}^{9}-1287{n}^{7}+1365{n}^{5}-691{n}^{3}+105n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{15}}=\frac{1}{48}\left(3{n}^{16}+24{n}^{15}+60{n}^{14}-182{n}^{12}+572{n}^{10}-1287{n}^{8}+1820{n}^{6}-1382{n}^{4}+420{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{16}}=\frac{1}{510}\left(30{n}^{17}+255{n}^{16}+680{n}^{15}-2380{n}^{13}+8840{n}^{11}-24310{n}^{9}+44200{n}^{7}-46988{n}^{5}+23800{n}^{3}-3617n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{17}}=\frac{1}{180}\left(10{n}^{18}+90{n}^{17}+255{n}^{16}-1020{n}^{14}+4420{n}^{12}-14586{n}^{10}+33150{n}^{8}-46988{n}^{6}+35700{n}^{4}-10851{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{18}}=\frac{1}{3990}\left(210{n}^{19}+1995{n}^{18}+5985{n}^{17}-27132{n}^{15}+135660{n}^{13}-529074{n}^{11}+1469650{n}^{9}-2678316{n}^{7}+2848860{n}^{5}-1443183{n}^{3}+219335n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{19}}=\frac{1}{840}\left(42{n}^{20}+420{n}^{19}+1330{n}^{18}-6783{n}^{16}+38760{n}^{14}-176358{n}^{12}+587860{n}^{10}-1339158{n}^{8}+1899240{n}^{6}-1443183{n}^{4}+438670{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{20}}=\frac{1}{6930}\left(330{n}^{21}+3465{n}^{20}+11550{n}^{19}-65835{n}^{17}+426360{n}^{15}-2238390{n}^{13}+8817900{n}^{11}-24551230{n}^{9}+44767800{n}^{7}-47625039{n}^{5}+24126850{n}^{3}-3666831n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{21}}=\frac{1}{660}\left(30{n}^{22}+330{n}^{21}+1155{n}^{20}-7315{n}^{18}+53295{n}^{16}-319770{n}^{14}+1469650{n}^{12}-4910246{n}^{10}+11191950{n}^{8}-15875013{n}^{6}+12063425{n}^{4}-3666831{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{22}}=\frac{1}{690}\left(30{n}^{23}+345{n}^{22}+1265{n}^{21}-8855{n}^{19}+72105{n}^{17}-490314{n}^{15}+2600150{n}^{13}-10266878{n}^{11}+28601650{n}^{9}-52160757{n}^{7}+55491755{n}^{5}-28112371{n}^{3}+4272565n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{23}}=\frac{1}{720}\left(30{n}^{24}+360{n}^{23}+1380{n}^{22}-10626{n}^{20}+96140{n}^{18}-735471{n}^{16}+4457400{n}^{14}-20533756{n}^{12}+68643960{n}^{10}-156482271{n}^{8}+221967020{n}^{6}-168674226{n}^{4}+51270780{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{24}}=\frac{1}{13650}\left(546{n}^{25}+6825{n}^{24}+27300{n}^{23}-230230{n}^{21}+2302300{n}^{19}-19684665{n}^{17}+135207800{n}^{15}-718681460{n}^{13}+2839363800{n}^{11}-7911048145{n}^{9}+14427856300{n}^{7}-15349354566{n}^{5}+7776068300{n}^{3}-1181820455n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{25}}=\frac{1}{1092}\left(42{n}^{26}+546{n}^{25}+2275{n}^{24}-20930{n}^{22}+230230{n}^{20}-2187185{n}^{18}+16900975{n}^{16}-102668780{n}^{14}+473227300{n}^{12}-1582209629{n}^{10}+3606964075{n}^{8}-5116451522{n}^{6}+3888034150{n}^{4}-1181820455{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{26}}=\frac{1}{378}\left(14{n}^{27}+189{n}^{26}+819{n}^{25}-8190{n}^{23}+98670{n}^{21}-1036035{n}^{19}+8947575{n}^{17}-61601268{n}^{15}+327618900{n}^{13}-1294535151{n}^{11}+3606964075{n}^{9}-6578294814{n}^{7}+6998461470{n}^{5}-3545461365{n}^{3}+538845489n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{27}}=\frac{1}{56}\left(2{n}^{28}+28{n}^{27}+126{n}^{26}-1365{n}^{24}+17940{n}^{22}-207207{n}^{20}+1988350{n}^{18}-15400317{n}^{16}+93605400{n}^{14}-431511717{n}^{12}+1442785630{n}^{10}-3289147407{n}^{8}+4665640980{n}^{6}-3545461365{n}^{4}+1077690978{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{28}}=\frac{1}{870}\left(30{n}^{29}+435{n}^{28}+2030{n}^{27}-23751{n}^{25}+339300{n}^{23}-4292145{n}^{21}+45522750{n}^{19}-394066935{n}^{17}+2714556600{n}^{15}-14439045915{n}^{13}+57055613550{n}^{11}-158975458005{n}^{9}+289936260900{n}^{7}-308455138755{n}^{5}+156265191810{n}^{3}-23749461029n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{29}}=\frac{1}{60}\left(2{n}^{30}+30{n}^{29}+145{n}^{28}-1827{n}^{26}+28275{n}^{24}-390195{n}^{22}+4552275{n}^{20}-43785215{n}^{18}+339319575{n}^{16}-2062720845{n}^{14}+9509268925{n}^{12}-31795091601{n}^{10}+72484065225{n}^{8}-102818379585{n}^{6}+78132595905{n}^{4}-23749461029{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{30}}=\frac{1}{14322}\left(462{n}^{31}+7161{n}^{30}+35805{n}^{29}-484561{n}^{27}+8099091{n}^{25}-121486365{n}^{23}+1552325775{n}^{21}-16502417085{n}^{19}+142933380975{n}^{17}-984742931403{n}^{15}+5238144213225{n}^{13}-20698604632251{n}^{11}+57673154564025{n}^{9}-105183202315455{n}^{7}+111901503855141{n}^{5}-56689963476223{n}^{3}+8615841276005n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{31}}=\frac{1}{7392}\left(231{n}^{32}+3696{n}^{31}+19096{n}^{30}-276892{n}^{28}+4984056{n}^{26}-80990910{n}^{24}+1128964200{n}^{22}-13201933668{n}^{20}+127051894200{n}^{18}-984742931403{n}^{16}+5986450529400{n}^{14}-27598139509668{n}^{12}+92277047302440{n}^{10}-210366404630910{n}^{8}+298404010280376{n}^{6}-226759853904892{n}^{4}+68926730208040{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{32}}=\frac{1}{117810}\left(3570{n}^{33}+58905{n}^{32}+314160{n}^{31}-4869480{n}^{29}+94143280{n}^{27}-1652214564{n}^{25}+25033554000{n}^{23}-320618389080{n}^{21}+3410340318000{n}^{19}-29542287942090{n}^{17}+203539317999600{n}^{15}-1082696242302360{n}^{13}+4278299465840400{n}^{11}-11920762929084900{n}^{9}+21740863606141680{n}^{7}-23129505098298984{n}^{5}+11717544135366800{n}^{3}-1780853160521127n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{33}}=\frac{1}{7140}\left(210{n}^{34}+3570{n}^{33}+19635{n}^{32}-324632{n}^{30}+6724520{n}^{28}-127093428{n}^{26}+2086129500{n}^{24}-29147126280{n}^{22}+341034031800{n}^{20}-3282476438010{n}^{18}+25442414749950{n}^{16}-154670891757480{n}^{14}+713049910973400{n}^{12}-2384152585816980{n}^{10}+5435215901535420{n}^{8}-7709835032766328{n}^{6}+5858772067683400{n}^{4}-1780853160521127{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{34}}=\frac{1}{210}\left(6{n}^{35}+105{n}^{34}+595{n}^{33}-10472{n}^{31}+231880{n}^{29}-4707164{n}^{27}+83445180{n}^{25}-1267266360{n}^{23}+16239715800{n}^{21}-172761917790{n}^{19}+1496612632350{n}^{17}-10311392783832{n}^{15}+54849993151800{n}^{13}-216741144165180{n}^{11}+603912877948380{n}^{9}-1101405004680904{n}^{7}+1171754413536680{n}^{5}-593617720173709{n}^{3}+90219075042845n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{35}}=\frac{1}{72}\left(2{n}^{36}+36{n}^{35}+210{n}^{34}-3927{n}^{32}+92752{n}^{30}-2017356{n}^{28}+38513160{n}^{26}-633633180{n}^{24}+8858026800{n}^{22}-103657150674{n}^{20}+997741754900{n}^{18}-7733544587874{n}^{16}+47014279844400{n}^{14}-216741144165180{n}^{12}+724695453538056{n}^{10}-1652107507021356{n}^{8}+2343508827073360{n}^{6}-1780853160521127{n}^{4}+541314450257070{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{36}}=\frac{1}{1919190}\left(51870{n}^{37}+959595{n}^{36}+5757570{n}^{35}-114191805{n}^{33}+2871108240{n}^{31}-66753266580{n}^{29}+1368779102600{n}^{27}-24321249254484{n}^{25}+369570357702000{n}^{23}-4736613500048430{n}^{21}+50390947331224500{n}^{19}-436533571694173590{n}^{17}+3007644524485801200{n}^{15}-15998747556552761700{n}^{13}+63219466703440986120{n}^{11}-176150455911128678980{n}^{9}+321259907559351555600{n}^{7}-341779557714054172713{n}^{5}+173147546631477695550{n}^{3}-26315271553053477373n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{37}}=\frac{1}{103740}\left(2730{n}^{38}+51870{n}^{37}+319865{n}^{36}-6717165{n}^{34}+179444265{n}^{32}-4450217772{n}^{30}+97769935900{n}^{28}-1870865327268{n}^{26}+30797529808500{n}^{24}-430601227277130{n}^{22}+5039094733122450{n}^{20}-48503730188241510{n}^{18}+375955565560725150{n}^{16}-2285535365221823100{n}^{14}+10536577783906831020{n}^{12}-35230091182225735796{n}^{10}+80314976889837888900{n}^{8}-113926519238018057571{n}^{6}+86573773315738847775{n}^{4}-26315271553053477373{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{38}}=\frac{1}{8190}\left(210{n}^{39}+4095{n}^{38}+25935{n}^{37}-575757{n}^{35}+16313115{n}^{33}-430666236{n}^{31}+10114131300{n}^{29}-207873925252{n}^{27}+3695703577020{n}^{25}-56165377470930{n}^{23}+719870676160350{n}^{21}-7658483713932870{n}^{19}+66345099804833850{n}^{17}-457107073044364620{n}^{15}+2431517950132345620{n}^{13}-9608206686061564308{n}^{11}+26771658963279296300{n}^{9}-48825651102007738959{n}^{7}+51944263989443308665{n}^{5}-26315271553053477373{n}^{3}+3999441692393728035n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{39}}=\frac{1}{1680}\left(42{n}^{40}+840{n}^{39}+5460{n}^{38}-127946{n}^{36}+3838380{n}^{34}-107666559{n}^{32}+2697101680{n}^{30}-59392550072{n}^{28}+1137139562160{n}^{26}-18721792490310{n}^{24}+261771154967400{n}^{22}-3063393485573148{n}^{20}+29486711024370600{n}^{18}-228553536522182310{n}^{16}+1389438828647054640{n}^{14}-6405471124041042872{n}^{12}+21417327170623437040{n}^{10}-48825651102007738959{n}^{8}+69259018652591078220{n}^{6}-52630543106106954746{n}^{4}+15997766769574912140{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{40}}=\frac{1}{94710}\left(2310{n}^{41}+47355{n}^{40}+315700{n}^{39}-7797790{n}^{37}+247301340{n}^{35}-7357214865{n}^{33}+196192396400{n}^{31}-4618282772840{n}^{29}+94972211580400{n}^{27}-1688705682625962{n}^{25}+25664954541369000{n}^{23}-328950109998449940{n}^{21}+3499607018945037000{n}^{19}-30316954403383594650{n}^{17}+208878970573273880880{n}^{15}-1111102875747119359720{n}^{13}+4390552069977804593200{n}^{11}-12233538137225272372505{n}^{9}+22311298151656125912300{n}^{7}-23736374940854236590446{n}^{5}+12024988021797142291900{n}^{3}-1827579029475143854357n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{41}}=\frac{1}{13860}\left(330{n}^{42}+6930{n}^{41}+47355{n}^{40}-1231230{n}^{38}+41216890{n}^{36}-1298332035{n}^{34}+36786074325{n}^{32}-923656554568{n}^{30}+20351188195800{n}^{28}-389701311375222{n}^{26}+6416238635342250{n}^{24}-89713666363213620{n}^{22}+1049882105683511100{n}^{20}-10105651467794531550{n}^{18}+78329613964977705330{n}^{16}-476186946748765439880{n}^{14}+2195276034988902296600{n}^{12}-7340122882335163423503{n}^{10}+16733473613742094434225{n}^{8}-23736374940854236590446{n}^{6}+18037482032695713437850{n}^{4}-5482737088425431563071{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{42}}=\frac{1}{99330}\left(2310{n}^{43}+49665{n}^{42}+347655{n}^{41}-9502570{n}^{39}+335304970{n}^{37}-11165655501{n}^{35}+335533587025{n}^{33}-8968407191128{n}^{31}+211231298170200{n}^{29}-4344447952738586{n}^{27}+77251513169520690{n}^{25}-1174078851101186940{n}^{23}+15048310181463659100{n}^{21}-160094794305587052450{n}^{19}+1386894929615193488490{n}^{17}-9555484731425226493592{n}^{15}+50829083579358430098200{n}^{13}-200852453416625835497673{n}^{11}+559641728637374491633525{n}^{9}-1020664122456732173389178{n}^{7}+1085856418368281948958570{n}^{5}-550101287872018300161457{n}^{3}+83605370415493894148005n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{43}}=\frac{1}{9240}\left(210{n}^{44}+4620{n}^{43}+33110{n}^{42}-950257{n}^{40}+35295260{n}^{38}-1240628389{n}^{36}+39474539650{n}^{34}-1121050898891{n}^{32}+28164173089360{n}^{30}-620635421819798{n}^{28}+11884848179926260{n}^{26}-195679808516864490{n}^{24}+2736056396629756200{n}^{22}-32018958861117410490{n}^{20}+308198873247820775220{n}^{18}-2388871182856306623398{n}^{16}+14522595308388122885200{n}^{14}-66950817805541945165891{n}^{12}+223856691454949796653410{n}^{10}-510332061228366086694589{n}^{8}+723904278912187965972380{n}^{6}-550101287872018300161457{n}^{4}+167210740830987788296010{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{44}}=\frac{1}{217350}\left(4830{n}^{45}+108675{n}^{44}+796950{n}^{43}-23988195{n}^{41}+936681900{n}^{39}-34704064395{n}^{37}+1167318529650{n}^{35}-35160232737945{n}^{33}+940319972499600{n}^{31}-22150264192534170{n}^{29}+455585846897173300{n}^{27}-8101144072598189886{n}^{25}+123122537848339029000{n}^{23}-1578077258155072374150{n}^{21}+16788728095341815913300{n}^{19}-145440098485663373836290{n}^{17}+1002059076278780479078800{n}^{15}-5330315109902762557438245{n}^{13}+21062879605079367230570850{n}^{11}-58688187041262099969877735{n}^{9}+107034418382016363540201900{n}^{7}-113870966589507788133421599{n}^{5}+57687705586690786962123450{n}^{3}-8767479917479822634032245n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{45}}=\frac{1}{9660}\left(210{n}^{46}+4830{n}^{45}+36225{n}^{44}-1142295{n}^{42}+46834095{n}^{40}-1826529705{n}^{38}+64851029425{n}^{36}-2068248984585{n}^{34}+58769998281225{n}^{32}-1476684279502278{n}^{30}+32541846206940950{n}^{28}-623164928661399222{n}^{26}+10260211487361585750{n}^{24}-143461568923188397650{n}^{22}+1678872809534181591330{n}^{20}-16160010942851485981810{n}^{18}+125257384534847559884850{n}^{16}-761473587128966079634035{n}^{14}+3510479934179894538428475{n}^{12}-11737637408252419993975547{n}^{10}+26758604595504090885050475{n}^{8}-37956988863169262711140533{n}^{6}+28843852793345393481061725{n}^{4}-8767479917479822634032245{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{46}}=\frac{1}{9870}\left(210{n}^{47}+4935{n}^{46}+37835{n}^{45}-1248555{n}^{43}+53687865{n}^{41}-2201202465{n}^{39}+82378334675{n}^{37}-2777362922157{n}^{35}+83702724824775{n}^{33}-2238843907632486{n}^{31}+52740233507800850{n}^{29}-1084768579521694942{n}^{27}+19289197596239781210{n}^{25}-293160597364776290850{n}^{23}+3757477240386025466310{n}^{21}-39974763911264202165530{n}^{19}+346299827831637371446350{n}^{17}-2385950573004093716186643{n}^{15}+12691735146650387946626025{n}^{13}-50151723471623976337895519{n}^{11}+139739379554299141288596925{n}^{9}-254854068081279335346229293{n}^{7}+271132216257446698721980215{n}^{5}-137357185373850554599838505{n}^{3}+20875788905786925714728635n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{47}}=\frac{1}{10080}\left(210{n}^{48}+5040{n}^{47}+39480{n}^{46}-1362060{n}^{44}+61357560{n}^{42}-2641442958{n}^{40}+104056843800{n}^{38}-3703150562876{n}^{36}+118168552693800{n}^{34}-3358265861448729{n}^{32}+84384373612481360{n}^{30}-1859603279180048472{n}^{28}+35610826331519596080{n}^{26}-586321194729552581700{n}^{24}+8198132160842237381040{n}^{22}-95939433387034085197272{n}^{20}+923466207551032990523600{n}^{18}-7157851719012281148559929{n}^{16}+43514520502801330102717800{n}^{14}-200606893886495905351582076{n}^{12}+670749021860635878185265240{n}^{10}-1529124408487676012077375758{n}^{8}+2169057730059573589775841720{n}^{6}-1648286224486206655198062060{n}^{4}+501018933738886217153487240{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{48}}=\frac{1}{324870}\left(6630{n}^{49}+162435{n}^{48}+1299480{n}^{47}-46824596{n}^{45}+2207445240{n}^{43}-99666152586{n}^{41}+4127588137400{n}^{39}-154831727588356{n}^{37}+5223050029065960{n}^{35}-157431432959429811{n}^{33}+4211052450919634320{n}^{31}-99200216306604654696{n}^{29}+2040368456846696856880{n}^{27}-36281555529864713755596{n}^{25}+551413497948823531672560{n}^{23}-7067538259511510942865704{n}^{21}+75189590688497265070526800{n}^{19}-651364506430117584518953539{n}^{17}+4487797547855577177926962440{n}^{15}-23872220372493012736838267044{n}^{13}+94331703347127609413873211480{n}^{11}-262839495547826087853744477514{n}^{9}+479361758343165763340461020120{n}^{7}-509979757856032339118280401364{n}^{5}+258358763498018992645481586760{n}^{3}-39265823582984723803743892829n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{49}}=\frac{1}{66300}\left(1326{n}^{50}+33150{n}^{49}+270725{n}^{48}-10179260{n}^{46}+501692100{n}^{44}-23730036330{n}^{42}+1031897034350{n}^{40}-40745191470620{n}^{38}+1450847230296100{n}^{36}-46303362635126415{n}^{34}+1315953890912385725{n}^{32}-33066738768868218232{n}^{30}+728703020302391734600{n}^{28}-13954444434563351444460{n}^{26}+229755624145343138196900{n}^{24}-3212517390687050428575320{n}^{22}+37594795344248632535263400{n}^{20}-361869170238954213621640855{n}^{18}+2804873467409735736204351525{n}^{16}-17051585980352151954884476460{n}^{14}+78609752789273007844894342900{n}^{12}-262839495547826087853744477514{n}^{10}+599202197928957204175576275150{n}^{8}-849966263093387231863800668940{n}^{6}+645896908745047481613703966900{n}^{4}-196329117914923619018719464145{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{50}}=\frac{1}{43758}\left(858{n}^{51}+21879{n}^{50}+182325{n}^{49}-7147140{n}^{47}+367907540{n}^{45}-18211423230{n}^{43}+830551271550{n}^{41}-34476700475140{n}^{39}+1293998881074900{n}^{37}-43657456198833477{n}^{35}+1315953890912385725{n}^{33}-35200076753956490376{n}^{31}+829213781723411284200{n}^{29}-17055432086688540654340{n}^{27}+303277423871852942419908{n}^{25}-4609264082290115832303720{n}^{23}+59077535540962136841128200{n}^{21}-628509611467657318395481485{n}^{19}+5444754377913016429102564725{n}^{17}-37513489156774734300745848212{n}^{15}+199547834003539173760116408900{n}^{13}-788518486643478263561233432542{n}^{11}+2197074725739509748643779675550{n}^{9}-4006983811725968378786488867860{n}^{7}+4262919597717313378650446181540{n}^{5}-2159620297064159809205914105595{n}^{3}+328222927074835806764872599075n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{51}}=\frac{1}{3432}\left(66{n}^{52}+1716{n}^{51}+14586{n}^{50}-595595{n}^{48}+31991960{n}^{46}-1655583930{n}^{44}+79100121100{n}^{42}-3447670047514{n}^{40}+136210408534200{n}^{38}-4850828466537053{n}^{36}+154818104813221850{n}^{34}-4400009594244561297{n}^{32}+110561837563121504560{n}^{30}-2436490298098362950620{n}^{28}+46658065211054298833832{n}^{26}-768210680381685972050620{n}^{24}+10741370098356752152932400{n}^{22}-125701922293531463679096297{n}^{20}+1209945417314003650911681050{n}^{18}-9378372289193683575186462053{n}^{16}+57013666858154049645747545400{n}^{14}-262839495547826087853744477514{n}^{12}+878829890295803899457511870220{n}^{10}-2003491905862984189393244433930{n}^{8}+2841946398478208919100297454360{n}^{6}-2159620297064159809205914105595{n}^{4}+656445854149671613529745198150{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{52}}=\frac{1}{17490}\left(330{n}^{53}+8745{n}^{52}+75790{n}^{51}-3221075{n}^{49}+180380200{n}^{47}-9749549810{n}^{45}+487477490500{n}^{43}-22283721038810{n}^{41}+925532263117000{n}^{39}-34742420098170785{n}^{37}+1172194222157251150{n}^{35}-35333410378024507385{n}^{33}+945125385620232216400{n}^{31}-22264480310209178686700{n}^{29}+457940269664051451517240{n}^{27}-8143033212045871303736572{n}^{25}+123759264176719100892482000{n}^{23}-1586238543227897041664786605{n}^{21}+16875554504642682499557656750{n}^{19}-146192273919783891024965437885{n}^{17}+1007241447827388210408206635400{n}^{15}-5357882024628762560095560503170{n}^{13}+21171810993489821214203695055300{n}^{11}-58991706117076756687689974999050{n}^{9}+107587970799532194794511260772200{n}^{7}-114459875744400469887913447596535{n}^{5}+57986050449887659195127492503250{n}^{3}-8812822899490389530827174910383n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{53}}=\frac{1}{5940}\left(110{n}^{54}+2970{n}^{53}+26235{n}^{52}-1159587{n}^{50}+67642575{n}^{48}-3815041230{n}^{46}+199422609750{n}^{44}-9550166159490{n}^{42}+416489518402650{n}^{40}-16456935835975635{n}^{38}+586097111078625575{n}^{36}-18705923141307092145{n}^{34}+531633029411380621725{n}^{32}-13358688186125507212020{n}^{30}+294390173355461647403940{n}^{28}-5637484531416372441048396{n}^{26}+92819448132539325669361500{n}^{24}-1297831535368279397725734495{n}^{22}+15187999054178414249601891075{n}^{20}-146192273919783891024965437885{n}^{18}+1133146628805811736709232464825{n}^{16}-6888705460236980434408577789790{n}^{14}+31757716490234731821305542582950{n}^{12}-106185071010738162037841954998290{n}^{10}+242072934298947438287650336737450{n}^{8}-343379627233201409663740342789605{n}^{6}+260937227024494466378073716264625{n}^{4}-79315406095413505777444574193447{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{54}}=\frac{1}{43890}\left(798{n}^{55}+21945{n}^{54}+197505{n}^{53}-9072063{n}^{51}+550803825{n}^{49}-32387264910{n}^{47}+1768213806450{n}^{45}-88616658084570{n}^{43}+4053154093723350{n}^{41}-168367112783443035{n}^{39}+6320344522172205525{n}^{37}-213247523810900850453{n}^{35}+6427926628337602062675{n}^{33}-171939244718196044438580{n}^{31}+4050402729959627493592140{n}^{29}-83309493630930837184381852{n}^{27}+1481398392195327637683009540{n}^{25}-22514555765736673030111654935{n}^{23}+288571982029389870742435930425{n}^{21}-3070037752315461711524274195585{n}^{19}+26595617934912875467469632556775{n}^{17}-183239565242303679555268169208414{n}^{15}+974717606123358307438531653122850{n}^{13}-3851622121207684241190812731301610{n}^{11}+10731900087253336430752498262026950{n}^{9}-19572638752292480350833199539007485{n}^{7}+20822790716554658416970282557917075{n}^{5}-10548949010689996268400128367728451{n}^{3}+1603247999918667433177996809698005n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{55}}=\frac{1}{6384}\left(114{n}^{56}+3192{n}^{55}+29260{n}^{54}-1395702{n}^{52}+88128612{n}^{50}-5397877485{n}^{48}+307515444600{n}^{46}-16112119651740{n}^{44}+772029351185400{n}^{42}-33673422556688607{n}^{40}+1330598846773095900{n}^{38}-47388338624644633434{n}^{36}+1512453324314729897100{n}^{34}-42984811179549011109645{n}^{32}+1080107394655900664957904{n}^{30}-23802712465980239195537672{n}^{28}+455814889906254657748618320{n}^{26}-7504851921912224343370551645{n}^{24}+104935266192505407542703974700{n}^{22}-1228015100926184684609709678234{n}^{20}+11820274637739055763319836691900{n}^{18}-91619782621151839777634084604207{n}^{16}+556981489213347604250589516070200{n}^{14}-2567748080805122827460541820867740{n}^{12}+8585520069802669144601998609621560{n}^{10}-19572638752292480350833199539007485{n}^{8}+27763720955406211222627043410556100{n}^{6}-21097898021379992536800256735456902{n}^{4}+6412991999674669732711987238792020{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{56}}=\frac{1}{49590}\left(870{n}^{57}+24795{n}^{56}+231420{n}^{55}-11455290{n}^{53}+751685220{n}^{51}-47919932775{n}^{49}+2846153583000{n}^{47}-155750489966820{n}^{45}+7810064366643000{n}^{43}-357266800296574245{n}^{41}+14841294829392223500{n}^{39}-557133170316767987670{n}^{37}+18797634173625928721100{n}^{35}-566617965548600600990775{n}^{33}+15156345699203767395377040{n}^{31}-357040686989703587933065080{n}^{29}+7343684337378547263727739600{n}^{27}-130584423441272703574647598623{n}^{25}+1984645251901732707872879521500{n}^{23}-25437455662042397038343986191990{n}^{21}+270622077232446803002322576893500{n}^{19}-2344388555305944135486519223695885{n}^{17}+16152463187187080523267095966035800{n}^{15}-85920801165402186918871976313651300{n}^{13}+339518293669469188900169945016852600{n}^{11}-946010873027469883623604644385361775{n}^{9}+1725316945085957411691823411941700500{n}^{7}-1835517127860059350701622335984750474{n}^{5}+929883839952827111243238149624842900{n}^{3}-141325396970853924960068697160804053n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{57}}=\frac{1}{1740}\left(30{n}^{58}+870{n}^{57}+8265{n}^{56}-424270{n}^{54}+28910970{n}^{52}-1916797311{n}^{50}+118589732625{n}^{48}-6771760433340{n}^{46}+355002925756500{n}^{44}-17012704776027345{n}^{42}+742064741469611175{n}^{40}-29322798437724630930{n}^{38}+1044313009645884928950{n}^{36}-33330468561682388293575{n}^{34}+947271606200235462211065{n}^{32}-23802712465980239195537672{n}^{30}+524548881241324804551981400{n}^{28}-10044955649328669505742122971{n}^{26}+165387104325144392322739960125{n}^{24}-2312495969276581548940362381090{n}^{22}+27062207723244680300232257689350{n}^{20}-260487617256216015054057691521765{n}^{18}+2019057898398385065408386995754475{n}^{16}-12274400166486026702695996616235900{n}^{14}+56586382278244864816694990836142100{n}^{12}-189202174605493976724720928877072355{n}^{10}+431329236271489352922955852985425125{n}^{8}-611839042620019783567207445328250158{n}^{6}+464941919976413555621619074812421450{n}^{4}-141325396970853924960068697160804053{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{58}}=\frac{1}{1770}\left(30{n}^{59}+885{n}^{58}+8555{n}^{57}-455126{n}^{55}+32183910{n}^{53}-2217471399{n}^{51}+142791718875{n}^{49}-8500720543980{n}^{47}+465448280436300{n}^{45}-23343013529897985{n}^{43}+1067849262114806325{n}^{41}-44360130969891108330{n}^{39}+1665255880246140832650{n}^{37}-56185647003978883123455{n}^{35}+1693606811085269462740995{n}^{33}-45301936628801100404410408{n}^{31}+1067185654939247016157479400{n}^{29}-21950088270755240771806861307{n}^{27}+390313566207340765881666305895{n}^{25}-5932054877709491799455712194970{n}^{23}+76031916936735054176843009698650{n}^{21}-808882600953512888852073884199165{n}^{19}+7007318588559101109358519573500825{n}^{17}-48279307321511705030604253357194540{n}^{15}+256815119570495924937308035333260300{n}^{13}-1014811663793104056978048618522478995{n}^{11}+2827602771113096869161599480682231375{n}^{9}-5156929073511595318637891324909537046{n}^{7}+5486314655721679956335105082786573110{n}^{5}-2779399473760127190881351044162479709{n}^{3}+422418066744400209310233879970180105n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{59}}=\frac{1}{360}\left(6{n}^{60}+180{n}^{59}+1770{n}^{58}-97527{n}^{56}+7151980{n}^{54}-511724169{n}^{52}+34270012530{n}^{50}-2125180135995{n}^{48}+121421290548600{n}^{46}-6366276417244905{n}^{44}+305099789175658950{n}^{42}-13308039290967332499{n}^{40}+525870277972465526100{n}^{38}-18728549001326294374485{n}^{36}+597743580383036280967410{n}^{34}-16988226235800412651653903{n}^{32}+426874261975698806462991760{n}^{30}-9407180687466531759345797703{n}^{28}+180144722864926507329999833490{n}^{26}-2966027438854745899727856097485{n}^{24}+41471954692764575005550732562900{n}^{22}-485329560572107733311244330519499{n}^{20}+4671545725706067406239013049000550{n}^{18}-36209480491133778772953190017895905{n}^{16}+220127245346139364231978315999937400{n}^{14}-1014811663793104056978048618522478995{n}^{12}+3393123325335716242993919376818677650{n}^{10}-7735393610267392977956836987364305569{n}^{8}+10972629311443359912670210165573146220{n}^{6}-8338198421280381572644053132487439127{n}^{4}+2534508400466401255861403279821080630{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{60}}=\frac{1}{56786730}\left(930930{n}^{61}+28393365{n}^{60}+283933650{n}^{59}-16193682505{n}^{57}+1230719870380{n}^{55}-91380950375715{n}^{53}+6359744930188650{n}^{51}-410483097224868525{n}^{49}+24450773200832979000{n}^{47}-1338963037079458385595{n}^{45}+67153563375872354130750{n}^{43}-3072032658721761583093245{n}^{41}+127617322607894646431404500{n}^{39}-4790689438874260903353146775{n}^{37}+161637634802117989845240240330{n}^{35}-4872251598137951349182092136905{n}^{33}+130326846552490724107183699286800{n}^{31}-3070132354944691511806866613763685{n}^{29}+63147097149724740997479762002725850{n}^{27}-1122873328952239764176352251244895827{n}^{25}+17065628215291701988441724285156596500{n}^{23}-218732370771642280813155855247948805145{n}^{21}+2327033384283548325963992539298868444750{n}^{19}-20158999922453738128033569648872058091575{n}^{17}+138892293856833029100144555517145835007800{n}^{15}-738818409649612512122013625986012995124825{n}^{13}+2919460274735476934053183201411674343448250{n}^{11}-8134587192407030978576497289916115407116655{n}^{9}+14835708049976666420324447707515655943944300{n}^{7}-15783300747855842755423774378007281136546157{n}^{5}+7995913567778744566014579192906341891335550{n}^{3}-1215233140483755572040304994079820246041491n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{61}}=\frac{1}{1861860}\left(30030{n}^{62}+930930{n}^{61}+9464455{n}^{60}-558402845{n}^{58}+43954281085{n}^{56}-3384479643545{n}^{54}+244605574238025{n}^{52}-16419323888994741{n}^{50}+1018782216701374125{n}^{48}-58215784220846016765{n}^{46}+3052434698903288824125{n}^{44}-146287269462941027766345{n}^{42}+6380866130394732321570225{n}^{40}-252141549414434784387007725{n}^{38}+8979868600117666102513346685{n}^{36}-286603035184585373481299537465{n}^{34}+8145427909530670256698981205425{n}^{32}-204675490329646100787124440917579{n}^{30}+4510506939266052928391411571623275{n}^{28}-86374871457864597244334788557299679{n}^{26}+1422135684607641832370143690429716375{n}^{24}-19884760979240207346650532295268073195{n}^{22}+232703338428354832596399253929886844475{n}^{20}-2239888880272637569781507738763562010175{n}^{18}+17361536732104128637518069439643229375975{n}^{16}-105545487092801787446001946569430427874975{n}^{14}+486576712455912822342197200235279057241375{n}^{12}-1626917438481406195715299457983223081423331{n}^{10}+3708927012494166605081111926878913985986075{n}^{8}-5261100249285280918474591459335760378848719{n}^{6}+3997956783889372283007289596453170945667775{n}^{4}-1215233140483755572040304994079820246041491{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{62}}=\frac{1}{270270}\left(4290{n}^{63}+135135{n}^{62}+1396395{n}^{61}-85180095{n}^{59}+6940149645{n}^{57}-553823941671{n}^{55}+41536795625325{n}^{53}-2897527745116719{n}^{51}+187123264292089125{n}^{49}-11147703361438598955{n}^{47}+610486939780657764825{n}^{45}-30618265701545796509235{n}^{43}+1400677931062258314491025{n}^{41}-58186511403331104089309475{n}^{39}+2184292362190783646557300545{n}^{37}-73697923333179096038048452491{n}^{35}+2221480338962910070008813056025{n}^{33}-59421916547316609905939353814781{n}^{31}+1399812498392912977776644970503775{n}^{29}-28791623819288199081444929519099893{n}^{27}+511968846458751059653251728554697895{n}^{25}-7780993426659211570428469159017941685{n}^{23}+99730002183580642541313965969951504775{n}^{21}-1060999995918617796212293139414318846925{n}^{19}+9191401799349244572803683820987592022575{n}^{17}-63327292255681072467601167941658256724985{n}^{15}+336860800931016569313828830932116270397875{n}^{13}-1331114267848423251039790465622637066619089{n}^{11}+3708927012494166605081111926878913985986075{n}^{9}-6764271749081075466610189019145977629948353{n}^{7}+7196322211000870109413121273615707702201995{n}^{5}-3645699421451266716120914982239460738124473{n}^{3}+554079870878442543022274680376735529171795n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{63}}=\frac{1}{137280}\left(2145{n}^{64}+68640{n}^{63}+720720{n}^{62}-45429384{n}^{60}+3829048080{n}^{58}-316470823812{n}^{56}+24614397407600{n}^{54}-1783093996994904{n}^{52}+119758889146937040{n}^{50}-7431802240959065970{n}^{48}+424686566803935836400{n}^{46}-22267829601124215643080{n}^{44}+1067183185571244430088400{n}^{42}-46549209122664883271447580{n}^{40}+1839404094476449386574568880{n}^{38}-65509265185048085367154179992{n}^{36}+2090805024906268301184765229200{n}^{34}-59421916547316609905939353814781{n}^{32}+1493133331619107176295087968537360{n}^{30}-32904712936329370378794205164685592{n}^{28}+630115503333847458034771358221166640{n}^{26}-10374657902212282093904625545357255580{n}^{24}+145061821357935480060093041410838552400{n}^{22}-1697599993469788473939669023062910155080{n}^{20}+16340269865509768129428771237311274706800{n}^{18}-126654584511362144935202335883316513449970{n}^{16}+769967544985180729860180184987694332338000{n}^{14}-3549638047595795336106107908327032177650904{n}^{12}+11868566439981333136259558166012524755155440{n}^{10}-27057086996324301866440756076583910519793412{n}^{8}+38380385125337973916869980125950441078410640{n}^{6}-29165595371610133728967319857915685904995784{n}^{4}+8865277934055080688356394886027768466748720{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{64}}=\frac{1}{364650}\left(5610{n}^{65}+182325{n}^{64}+1944800{n}^{63}-126606480{n}^{61}+11032850400{n}^{59}-943860351720{n}^{57}+76080864714400{n}^{55}-5719358103568560{n}^{53}+399196297156456800{n}^{51}-25783803693123290100{n}^{49}+1536100348014236004000{n}^{47}-84122911826469259096080{n}^{45}+4219096315049105886396000{n}^{43}-193008915874464150149904600{n}^{41}+8017915283615292197889146400{n}^{39}-300988515715085797632870556720{n}^{37}+10155338692401874605754573970400{n}^{35}-306112903425570414666960307530690{n}^{33}+8188150528233813547424675956495200{n}^{31}-192889696523310102220517754413674160{n}^{29}+3967393909879780291330041885096234400{n}^{27}-70547673735043518238551453708429337944{n}^{25}+1072196070906479635226774653906197996000{n}^{23}-13742476137612573360463987329556891731600{n}^{21}+146202414586140030631731111070679826324000{n}^{19}-1266545845113621449352023358833165134499700{n}^{17}+8726298843165381605082042096527202433164000{n}^{15}-46418343699329631318310641878122728476973360{n}^{13}+183423299526984239378556808020193564397856800{n}^{11}-511078309930570146366103170335473865373875560{n}^{9}+932095067329636509409699517344510711904258400{n}^{7}-991630242634744546784888875169133320769856656{n}^{5}+502365749596454572340195710208240213115760800{n}^{3}-76350438555724568868765593160086993278542155n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{65}}=\frac{1}{33660}\left(510{n}^{66}+16830{n}^{65}+182325{n}^{64}-12252240{n}^{62}+1103285040{n}^{60}-97640726040{n}^{58}+8151521219400{n}^{56}-635484233729840{n}^{54}+46061111210360400{n}^{52}-3094056443174794812{n}^{50}+192012543501779500500{n}^{48}-10972553716495990316880{n}^{46}+575331315688514439054000{n}^{44}-27572702267780592878557800{n}^{42}+1202687292542293829683371960{n}^{40}-47524502481329336468347982640{n}^{38}+1692556448733645767625762328400{n}^{36}-54019924133924190823581230740710{n}^{34}+1535278224043840040142126741842850{n}^{32}-38577939304662020444103550882734832{n}^{30}+850155837831381490999294689663478800{n}^{28}-16280232400394658055050335471176001064{n}^{26}+268049017726619908806693663476549499000{n}^{24}-3747948037530701825581087453515515926800{n}^{22}+43860724375842009189519333321203947897200{n}^{20}-422181948371207149784007786277721711499900{n}^{18}+3272362066187018101905765786197700912436500{n}^{16}-19893575871141270564990275090624026490131440{n}^{14}+91711649763492119689278404010096782198928400{n}^{12}-306646985958342087819661902201284319224325336{n}^{10}+699071300497227382057274638008383033928193800{n}^{8}-991630242634744546784888875169133320769856656{n}^{6}+753548624394681858510293565312360319673641200{n}^{4}-229051315667173706606296779480260979835626465{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{66}}=\frac{1}{5501370}\left(82110{n}^{67}+2750685{n}^{66}+30257535{n}^{65}-2097855760{n}^{63}+195100585680{n}^{61}-17851703589720{n}^{59}+1542639638485400{n}^{57}-124635789622614256{n}^{55}+9374739747663351600{n}^{53}-654423271618166894844{n}^{51}+42270189933748887181500{n}^{49}-2518317807230686118046480{n}^{47}+137913308940711227868344400{n}^{45}-6916900915408122218162860200{n}^{43}+316424093284237159531573983720{n}^{41}-13144789955541014166258197147120{n}^{39}+493448821959184780956191844228400{n}^{37}-16648940618075435611827735314286822{n}^{35}+501849884932148561000397611038146150{n}^{33}-13423878428367394017114354947485826864{n}^{31}+316228655954728004945151441979308476400{n}^{29}-6504254329742858386660295138058352721384{n}^{27}+115657790168681958251912181916861577828520{n}^{25}-1757787629601899156197530015698776969669200{n}^{23}+22529792087724178720349764215991761236528400{n}^{21}-239688246162116396037899578451462321155232700{n}^{19}+2076409976938786133250440913865564690732501500{n}^{17}-14306133528133392372303339826837424916603189552{n}^{15}+76099505076829961160634318773608768429218511600{n}^{13}-300709185230239645573699358095023086497527036312{n}^{11}+837875790940399085583535724466269754109269613400{n}^{9}-1528102203900141346595513756635634447306349106896{n}^{7}+1625705802269086641550107337804886153663913524880{n}^{5}-823592180700600924387374453417858396495634225985{n}^{3}+125171001880738530594387651426914249090561423585n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{67}}=\frac{1}{328440}\left(4830{n}^{68}+164220{n}^{67}+1833790{n}^{66}-131115985{n}^{64}+12587134560{n}^{62}-1190113572648{n}^{60}+106388940585200{n}^{58}-8902556401615304{n}^{56}+694425166493581600{n}^{54}-50340251662935914988{n}^{52}+3381615194699910974520{n}^{50}-209859817269223843170540{n}^{48}+11992461647018367640725600{n}^{46}-628809174128011110742078200{n}^{44}+30135627931832110431578474640{n}^{42}-1314478995554101416625819714712{n}^{40}+51941981258861555890125457287200{n}^{38}-1849882290897270623536415034920758{n}^{36}+59041162933193948352987954239781900{n}^{34}-1677984803545924252139294368435728358{n}^{32}+42163820793963733992686858930574463520{n}^{30}-929179189963265483808613591151193245912{n}^{28}+17793506179797224346448027987209473512080{n}^{26}-292964604933649859366255002616462828278200{n}^{24}+4096325834131668858245411675634865679368800{n}^{22}-47937649232423279207579915690292464231046540{n}^{20}+461424439319730251833431314192347709051667000{n}^{18}-3576533382033348093075834956709356229150797388{n}^{16}+21742715736237131760181233935316790979776717600{n}^{14}-100236395076746548524566452698341028832509012104{n}^{12}+335150316376159634233414289786507901643707845360{n}^{10}-764051101950070673297756878317817223653174553448{n}^{8}+1083803868179391094366738225203257435775942349920{n}^{6}-823592180700600924387374453417858396495634225985{n}^{4}+250342003761477061188775302853828498181122847170{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{68}}=\frac{1}{14490}\left(210{n}^{69}+7245{n}^{68}+82110{n}^{67}-6051507{n}^{65}+599387360{n}^{63}-58530175704{n}^{61}+5409607148400{n}^{59}-468555600085016{n}^{57}+37877736354195360{n}^{55}-2849448207335995188{n}^{53}+198918540864700645560{n}^{51}-12848560240972888357380{n}^{49}+765476275341597934514400{n}^{47}-41920611608534074049471880{n}^{45}+2102485669662705378947335440{n}^{43}-96181389918592786582377052296{n}^{41}+3995537019912427376163496714400{n}^{39}-149990456018697618124574192020602{n}^{37}+5060671108559481287398967506267020{n}^{35}-152544073049629477467208578948702578{n}^{33}+4080369754254554902518083122313657760{n}^{31}-96121985168613670738822095636330335784{n}^{29}+1977056242199691594049780887467719279120{n}^{27}-35155752592037983123950600313975539393384{n}^{25}+534303369669348111945053696821939001656800{n}^{23}-6848235604631897029654273670041780604435220{n}^{21}+72856490418904776605278628556686480376579000{n}^{19}-631152949770590839954559110007533452203081892{n}^{17}+4348543147247426352036246787063358195955343520{n}^{15}-23131475786941511197976873699617160499809772024{n}^{13}+91404631738952627518203897214502154993738503280{n}^{11}-254683700650023557765918959439272407884391517816{n}^{9}+464487372076881897585744953658538901046832435680{n}^{7}-494155308420360554632424672050715037897380535591{n}^{5}+250342003761477061188775302853828498181122847170{n}^{3}-38047422204761145692542119067693234816019601483n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{69}}=\frac{1}{2100}\left(30{n}^{70}+1050{n}^{69}+12075{n}^{68}-916895{n}^{66}+93654275{n}^{64}-9440350920{n}^{62}+901601191400{n}^{60}-80785448290520{n}^{58}+6763881491820600{n}^{56}-527675593951110220{n}^{54}+38253565550903970300{n}^{52}-2569712048194577671476{n}^{50}+159474224029499569690500{n}^{48}-9113176436637842184667800{n}^{46}+477837652196069404306212600{n}^{44}-22900330932998282519613583880{n}^{42}+998884254978106844040874178600{n}^{40}-39471172636499373190677418952790{n}^{38}+1405741974599855913166379862851950{n}^{36}-44865903838126316902120170279030170{n}^{34}+1275115548204548407036900975723018050{n}^{32}-32040661722871223579607365212110111928{n}^{30}+706091515071318426446350316952756885400{n}^{28}-13521443304629993509211769351529053612840{n}^{26}+222626404028895046643772373675807917357000{n}^{24}-3112834365741771377115578940928082092925100{n}^{22}+36428245209452388302639314278343240188289500{n}^{20}-350640527650328244419199505559740806779489940{n}^{18}+2717839467029641470022654241914598872472089700{n}^{16}-16522482704958222284269195499726543214149837160{n}^{14}+76170526449127189598503247678751795828115419400{n}^{12}-254683700650023557765918959439272407884391517816{n}^{10}+580609215096102371982181192073173626308540544600{n}^{8}-823592180700600924387374453417858396495634225985{n}^{6}+625855009403692652971938257134571245452807117925{n}^{4}-190237111023805728462710595338466174080098007415{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{70}}=\frac{1}{23430}\left(330{n}^{71}+11715{n}^{70}+136675{n}^{69}-10687985{n}^{67}+1125292135{n}^{65}-117030382040{n}^{63}+11543451319400{n}^{61}-1069380256184680{n}^{59}+92677042896699800{n}^{57}-7492993434105765124{n}^{55}+563698767835018883100{n}^{53}-39351864894901277674956{n}^{51}+2541823856470187018944500{n}^{49}-151433846744982015877139400{n}^{47}+8293137919225115661403378680{n}^{45}-415933917643526945298097883960{n}^{43}+19027526905802474273071286182600{n}^{41}-790435534079641293895360620567410{n}^{39}+29672553571959120761701153321280350{n}^{37}-1001150597073618671444452942512073222{n}^{35}+30177734640840978966539989758778093850{n}^{33}-807217961469755665021721039698645077928{n}^{31}+19015774940368954863951710260003556120600{n}^{29}-391120267441334256692384883834970032282520{n}^{27}+6954848861862681257151448953632239338232680{n}^{25}-105701027810622758501185528385427483242369700{n}^{23}+1354783786122967393541014497685050980335909500{n}^{21}-14413171162889808362704990202218819478672718060{n}^{19}+124860742573538234593393703702076571729453062100{n}^{17}-860270599504824773600949445685762016683401521464{n}^{15}+4576090858212948852033156649008088657058318657800{n}^{13}-18082542746151672601380246120188340959791797764936{n}^{11}+50383977443339550279787056778794289127441129481400{n}^{9}-91889356161024188849505635445621058237584332927755{n}^{7}+97758552468856792394216755764420028539728471819885{n}^{5}-49525061236530757976458991653114027318852181263705{n}^{3}+7526906736666835019015382836889286042557190801175n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{71}}=\frac{1}{23760}\left(330{n}^{72}+11880{n}^{71}+140580{n}^{70}-11316690{n}^{68}+1227591420{n}^{66}-131659179795{n}^{64}+13405298306400{n}^{62}-1283256307421616{n}^{60}+115047363595903200{n}^{58}-9633848700993126588{n}^{56}+751598357113358510800{n}^{54}-54487197546786384473016{n}^{52}+3660226353317069307280080{n}^{50}-227150770117473023815709100{n}^{48}+12980563699656702774370505760{n}^{46}-680619137962135001396887446480{n}^{44}+32618617552804241610979347741600{n}^{42}-1422783961343354329011649117021338{n}^{40}+56221680452133070916907448398215400{n}^{38}-2002301194147237342888905885024146444{n}^{36}+63905791004133837811496448900941845800{n}^{34}-1816240413306950246298872339321951425338{n}^{32}+45637859856885491673484104624008534689440{n}^{30}-1005737830563430945780418272718494368726480{n}^{28}+19259581463619732712111704794673893552028960{n}^{26}-317103083431868275503556585156282449727109100{n}^{24}+4433837845493347833406956537878348662917522000{n}^{22}-51887416186403310105737964727987750123221785016{n}^{20}+499442970294152938373574814808306286917812248400{n}^{18}-3871217697771711481204272505585929075075306846588{n}^{16}+23534181556523736953313377052041598807728495954400{n}^{14}-108495256476910035608281476721130045758750786589616{n}^{12}+362764637592044762014466808807318881717576132266080{n}^{10}-827004205449217699645550719010589524138258996349795{n}^{8}+1173102629626281508730601069173040342476741661838620{n}^{6}-891451102257553643576261849756052491739339262746690{n}^{4}+270968642520006060684553782128014297532058868842300{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{72}}=\frac{1}{1541109570}\left(21111090{n}^{73}+770554785{n}^{72}+9246657420{n}^{71}-765931456290{n}^{69}+85565485545540{n}^{67}-9459264427059447{n}^{65}+993700505468871200{n}^{63}-98243347050686261424{n}^{61}+9106347870617156359200{n}^{59}-789304435355267192397036{n}^{57}+63817929528577100596960240{n}^{55}-4801071559853231552719517688{n}^{53}+335163984638332546274664406320{n}^{51}-21648993547365967917082696991100{n}^{49}+1289778913058384936184908907316320{n}^{47}-70633580271959363520855664106612176{n}^{45}+3542555579337321852239076101264104800{n}^{43}-162059569761179113994144944251562001922{n}^{41}+6732227644620373154897804470145370929400{n}^{39}-252724449821681855707409034090092691722348{n}^{37}+8526911350206975498885284278983329919986520{n}^{35}-257027133367134653084026560361556166452114994{n}^{33}+6875165452567454703046106439779159782167444960{n}^{31}-161959477073389960561792447093975087527219126480{n}^{29}+3331214961591355434733715282613560312255120445920{n}^{27}-59235223824649774831263954232832342896665663326556{n}^{25}+900267448684845812569463297114412466432002276006000{n}^{23}-11538844682170136375704255318127614510485681402689784{n}^{21}+122758587111570144875779327306548410567815990346484400{n}^{19}-1063452877288654588050406324999350045443815303380265356{n}^{17}+7327020690682066050689674461397918375897166682228711840{n}^{15}-38975076469969822821669779726961709728053321318947524528{n}^{13}+154011034339030837082332583333421326351695486126402665120{n}^{11}-429125958063311631628667953194478264980207724718270754895{n}^{9}+782631900047284829705094311495586345362330769470649817140{n}^{7}-832620499924948196911361309990881612388994959573132390802{n}^{5}+421810472886353794524208671532502827296447782400245808900{n}^{3}-64107504578369385214821049691051741018107371320286864719n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{73}}=\frac{1}{42222180}\left(570570{n}^{74}+21111090{n}^{73}+256851595{n}^{72}-21883755894{n}^{70}+2516631927810{n}^{68}-286644376577559{n}^{66}+31053140795902225{n}^{64}-3169140227441492304{n}^{62}+303544929020571878640{n}^{60}-27217394322595420427484{n}^{58}+2279211768877753592748580{n}^{56}-177817465179749316767389544{n}^{54}+12890922486089713318256323320{n}^{52}-865959741894638716683307879644{n}^{50}+53740788044099372341037871138180{n}^{48}-3071025229215624500906768004635312{n}^{46}+161025253606241902374503459148368400{n}^{44}-7717122369579957809244997345312476282{n}^{42}+336611382231018657744890223507268546470{n}^{40}-13301286832720097668811001794215404827492{n}^{38}+473717297233720861049182459943518328888140{n}^{36}-15119243139243214887295680021268009791300882{n}^{34}+429697840785465918940381652486197486385465310{n}^{32}-10797298471559330704119496472931672501814608432{n}^{30}+237943925827953959623836805900968593732508603280{n}^{28}-4556555678819213448558765710217872530512743332812{n}^{26}+75022287390403817714121941426201038869333523000500{n}^{24}-1048985880197285125064023210738874046407789218426344{n}^{22}+12275858711157014487577932730654841056781599034648440{n}^{20}-118161430809850509783378480555483338382646144820029484{n}^{18}+915877586335258256336209307674739796987145835278588980{n}^{16}-5567868067138546117381397103851672818293331616992503504{n}^{14}+25668505723171806180388763888903554391949247687733777520{n}^{12}-85825191612662326325733590638895652996041544943654150979{n}^{10}+195657975011821207426273577873896586340582692367662454285{n}^{8}-277540166641649398970453769996960537462998319857710796934{n}^{6}+210905236443176897262104335766251413648223891200122904450{n}^{4}-64107504578369385214821049691051741018107371320286864719{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{74}}=\frac{1}{8558550}\left(114114{n}^{75}+4279275{n}^{74}+52777725{n}^{73}-4623328710{n}^{71}+547093897350{n}^{69}-64174114159155{n}^{67}+7166109414438975{n}^{65}-754557197009879120{n}^{63}+74642195660796363600{n}^{61}-6919676522693750956140{n}^{59}+599792570757303577039100{n}^{57}-48495672321749813663833512{n}^{55}+3648374288515956599506506600{n}^{53}-254694041733717269612737611660{n}^{51}+16451261646152869083991185042300{n}^{49}-980114434856050372629819575947440{n}^{47}+53675084535413967458167819716122800{n}^{45}-2692019431248822491597092097202026610{n}^{43}+123150505694275118687154959819732395050{n}^{41}-5115879551046191411081154536236694164420{n}^{39}+192047552932589538263182078355480403603300{n}^{37}-6479675631104234951698148580543432767700378{n}^{35}+195317200357029963154718932948271584720666050{n}^{33}-5224499260431934211670724099805647984749004080{n}^{31}+123074444393769289460605244431535479516814794800{n}^{29}-2531419821566229693643758727898818072507079629340{n}^{27}+45013372434242290628473164855720623321600113800300{n}^{25}-684121226215620733737406441786222204178992968538920{n}^{23}+8768470507969296062555666236182029326272570739034600{n}^{21}-93285340113039876144772484649065793459983798542128540{n}^{19}+808127282060521990884890565595358644400422795834049100{n}^{17}-5567868067138546117381397103851672818293331616992503504{n}^{15}+29617506603659776361987035256427178144556824255077435600{n}^{13}-117034352199084990444182169053039526812783924923164751335{n}^{11}+326096625019702012377122629789827643900971153946104090475{n}^{9}-594728928517820140650972364279201151706424971123665993430{n}^{7}+632715709329530691786313007298754240944671673600368713350{n}^{5}-320537522891846926074105248455258705090536856601434323595{n}^{3}+48715861831777304584840775422415853646171869429489873975n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{75}}=\frac{1}{456456}\left(6006{n}^{76}+228228{n}^{75}+2852850{n}^{74}-256851595{n}^{72}+31262508420{n}^{70}-3774947891715{n}^{68}+434309661481150{n}^{66}-47159824813117445{n}^{64}+4815625526502991200{n}^{62}-461311768179583397076{n}^{60}+41365004879814039795800{n}^{58}-3463976594410700975988108{n}^{56}+270249947297478266630111600{n}^{54}-19591849364132097662518277820{n}^{52}+1316100931692229526719294803384{n}^{50}-81676202904670864385818297995620{n}^{48}+4667398655253388474623288670967200{n}^{46}-244729039204438408327008372472911510{n}^{44}+11728619589930963684490948554260228100{n}^{42}-511587955104619141108115453623669416442{n}^{40}+20215531887641004027703376668997937221400{n}^{38}-719963959011581661299794286727048085300042{n}^{36}+22978494159650583900555168582149598202431300{n}^{34}-653062407553991776458840512475705998093625510{n}^{32}+16409925919169238594747365924204730602241972640{n}^{30}-361631403080889956234822675414116867501011375620{n}^{28}+6925134220652660096688179208572403587938479046200{n}^{26}-114020204369270122289567740297703700696498828089820{n}^{24}+1594267365085326556828302952033096241140467407097200{n}^{22}-18657068022607975228954496929813158691996759708425708{n}^{20}+179583840457893775752197903465635254311205065740899800{n}^{18}-1391967016784636529345349275962918204573332904248125876{n}^{16}+8462144743902793246282010073264908041301949787164981600{n}^{14}-39011450733028330148060723017679842270927974974388250445{n}^{12}+130438650007880804950849051915931057560388461578441636190{n}^{10}-297364464258910070325486182139600575853212485561832996715{n}^{8}+421810472886353794524208671532502827296447782400245808900{n}^{6}-320537522891846926074105248455258705090536856601434323595{n}^{4}+97431723663554609169681550844831707292343738858979747950{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{76}}=\frac{1}{30030}\left(390{n}^{77}+15015{n}^{76}+190190{n}^{75}-17592575{n}^{73}+2201585100{n}^{71}-273546948675{n}^{69}+32411168767250{n}^{67}-3627678831778265{n}^{65}+382192502103412000{n}^{63}-37812440014719950580{n}^{61}+3505508888119833881000{n}^{59}-303857596000938682104220{n}^{57}+24568177027043478784555600{n}^{55}-1848287675861518647407384700{n}^{53}+129029503107081326148950470920{n}^{51}-8334306418843965753654928366900{n}^{49}+496531771835466859002477518188000{n}^{47}-27192115467159823147445374719212390{n}^{45}+1363792975573367870289645180727933500{n}^{43}-62388775012758431842453104100447489810{n}^{41}+2591734857389872311244022649871530413000{n}^{39}-97292426893456981256728957665817308824330{n}^{37}+3282642022807226271507881226021371171775900{n}^{35}-98948849629392693402854623102379696680852350{n}^{33}+2646762245027296547539897729710440419716447200{n}^{31}-62350241910498268316348737140364977155346788900{n}^{29}+1282432263083825943831144297883778442210829453000{n}^{27}-22804040873854024457913548059540740139299765617964{n}^{25}+346579861975070990614848467833281791552275523282000{n}^{23}-4442159053001898864036784983288847307618276121053740{n}^{21}+47258905383656256776894185122535593239790806773921000{n}^{19}-409402063760187214513338022342034766050980265955331140{n}^{17}+2820714914634264415427336691088302680433983262388327200{n}^{15}-15004404128087819287715662699107631642664605759380096325{n}^{13}+59290295458127638614022296325423207981994755262928016450{n}^{11}-165202480143838927958603434522000319918451380867684998175{n}^{9}+301293194918824138945863336808930590926034130285889863500{n}^{7}-320537522891846926074105248455258705090536856601434323595{n}^{5}+162386206105924348616135918074719512153906231431632913250{n}^{3}-24679743914761308080394883236625785104269633096694666801n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{77}}=\frac{1}{2340}\left(30{n}^{78}+1170{n}^{77}+15015{n}^{76}-1426425{n}^{74}+183465425{n}^{72}-23446881315{n}^{70}+2859809008875{n}^{68}-329788984707115{n}^{66}+35830547072194875{n}^{64}-3659268388521285540{n}^{62}+350550888811983388100{n}^{60}-31433544413890208493540{n}^{58}+2632304681468944155488100{n}^{56}-205365297317946516378598300{n}^{54}+14888019589278614555648131260{n}^{52}-1000116770261275890438591404028{n}^{50}+62066471479433357375309689773500{n}^{48}-3546797669629542149666788006853790{n}^{46}+185971769396368345948587979190172750{n}^{44}-8912682144679775977493300585778212830{n}^{42}+388760228608480846686603397480729561950{n}^{40}-15361962141072154935272993315655364551210{n}^{38}+547107003801204378584646871003561861962650{n}^{36}-17461561699304592953444933488655240590738650{n}^{34}+496267920942618102663730824320707578696833850{n}^{32}-12470048382099653663269747428072995431069357780{n}^{30}+274806913517962702249530920975095380473749168500{n}^{28}-5262470970889390259518511090663247724453792065684{n}^{26}+86644965493767747653712116958320447888068880820500{n}^{24}-1211497923545972417464577722715140174804984396651020{n}^{22}+14177671615096877033068255536760677971937242032176300{n}^{20}-136467354586729071504446007447344922016993421985110380{n}^{18}+1057768092987849155785251259158113505162743723395622700{n}^{16}-6430458912037636837592426871046127846856259611162898425{n}^{14}+29645147729063819307011148162711603990997377631464008225{n}^{12}-99121488086303356775162060713200191951070828520610998905{n}^{10}+225969896189118104209397502606697943194525597714417397625{n}^{8}-320537522891846926074105248455258705090536856601434323595{n}^{6}+243579309158886522924203877112079268230859347147449369875{n}^{4}-74039231744283924241184649709877355312808899290084000403{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{78}}=\frac{1}{16590}\left(210{n}^{79}+8295{n}^{78}+107835{n}^{77}-10517507{n}^{75}+1389813425{n}^{73}-182621484045{n}^{71}+22919918578375{n}^{69}-2721989679746785{n}^{67}+304835269706519475{n}^{65}-32120244743686839740{n}^{63}+3177944942836505141300{n}^{61}-294622882387818394863180{n}^{59}+25537973488637300315524900{n}^{57}-2064854716669534973770270180{n}^{55}+155341034582473091495724841260{n}^{53}-10844403410872266027696883263284{n}^{51}+700464463839319318949923641729500{n}^{49}-41731470453300783165228378038088210{n}^{47}+2285386410582037673545981166492567350{n}^{45}-114621237814137584082646400556636085930{n}^{43}+5243522107816827029699797044069352384350{n}^{41}-217824745231100043056563212911728630687670{n}^{39}+8177031705461243820467830261215397558522850{n}^{37}-275892674849012568664429949120752801333670670{n}^{35}+8316247281250539720395246843919736091495427850{n}^{33}-222449572751648660509295817023366660431656608140{n}^{31}+5240283557773564632551399975835439496620113454500{n}^{29}-107783201737104919019027282708769481171220259715676{n}^{27}+1916586636722142578100112027118048307284083643749460{n}^{25}-29128623987866206385126586115716196376832885710783220{n}^{23}+373345352530884428537464062468031186594347373513975900{n}^{21}-3971918267708482975892560111493775888178808545145581060{n}^{19}+34408573848369446067602585077319809903235134061045844300{n}^{17}-237069585223787544745907470645900579954100770998205521935{n}^{15}+1261058976474791698213628071844578231309349986938430503725{n}^{13}-4983107537429614208787692688581791468085651651990716581315{n}^{11}+13884594732509145736421868771278218065174739504008091209625{n}^{9}-25322464308455907159854314627965437702152411671513311564005{n}^{7}+26939871592972849435416948808595967066333043794507900308175{n}^{5}-13647898384863003368458370429854059162661107102472150740953{n}^{3}+2074231827877004141475895177747710367460996876862002417435n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{79}}=\frac{1}{3360}\left(42{n}^{80}+1680{n}^{79}+22120{n}^{78}-2214212{n}^{76}+300500200{n}^{74}-40582552010{n}^{72}+5238838532200{n}^{70}-640468159940420{n}^{68}+73899459322792600{n}^{66}-8030061185921709935{n}^{64}+820114823957807778400{n}^{62}-78566101970084905296848{n}^{60}+7044958203762013880144800{n}^{58}-589958490477009992505791480{n}^{56}+46026973209621656739474027040{n}^{54}-3336739511037620316214425619472{n}^{52}+224148628428582182063975565353440{n}^{50}-13910490151100261055076126012696070{n}^{48}+794917012376360929929036927475675600{n}^{46}-41680450114231848757325963838776758520{n}^{44}+1997532231549267439885636969169277098800{n}^{42}-87129898092440017222625285164691452275068{n}^{40}+3442960718088944766512770636301220024641200{n}^{38}-122618966599561141628635532942556800592742520{n}^{36}+3913528132353195162538939691256346395997848400{n}^{34}-111224786375824330254647908511683330215828304070{n}^{32}+2794817897479234470694079987112234398197393842400{n}^{30}-61590400992631382296587018690725417812125862694672{n}^{28}+1179437930290549278830838170534183573713282242307360{n}^{26}-19419082658577470923417724077144130917888590473855480{n}^{24}+271523892749734129845428409067659044795888998919255200{n}^{22}-3177534614166786380714048089195020710543046836116464848{n}^{20}+30585398976328396504535631179839831025097896943151861600{n}^{18}-237069585223787544745907470645900579954100770998205521935{n}^{16}+1441210258828333369387003510679517978639257127929634861400{n}^{14}-6644143383239485611716923584775721957447535535987622108420{n}^{12}+22215351572014633178274990034045148904279583206412945935400{n}^{10}-50644928616911814319708629255930875404304823343026623128010{n}^{8}+71839657581260931827778530156255912176888116785354400821800{n}^{6}-54591593539452013473833481719416236650644428409888602963812{n}^{4}+16593854623016033131807161421981682939687975014896019339480{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{80}}=\frac{1}{43471890}\left(536690{n}^{81}+21735945{n}^{80}+289812600{n}^{79}-29763754020{n}^{77}+4147083060120{n}^{75}-575407774591650{n}^{73}+76372304627619000{n}^{71}-9607440095732348100{n}^{69}+1141630833951639801000{n}^{67}-127868841233574403994955{n}^{65}+13473900761323954793556000{n}^{63}-1333105754321746406606164560{n}^{61}+123590657017167011128380924000{n}^{59}-10712869925890821187599244603800{n}^{57}+866181608831869958180161714865760{n}^{55}-65163689569847806041436984251064080{n}^{53}+4549096413958075384988384098848064800{n}^{51}-293836393437664687831658547934918444350{n}^{49}+17505848490959372313157447374448098966000{n}^{47}-958692033077446753267254494255704222718520{n}^{45}+48082226711718872495730909691949172435522000{n}^{43}-2199594277343648234785175323982635712684091660{n}^{41}+91374853242419790662954120083343494369352586000{n}^{39}-3430166169838993563162461221473748747824734638200{n}^{37}+115733649307186082486003338078183573012731228490800{n}^{35}-3488565424677730118437031650468947652219454757155550{n}^{33}+93314912603109491700630774847115569441361984180868000{n}^{31}-2198235744669591347902445198646272071701786674234716560{n}^{29}+45213753057688206603980181267427927298298674758852645600{n}^{27}-803984976413892735677155928697105879436239845080469811864{n}^{25}+12219106416136894018515715115801528522641779516799152108000{n}^{23}-156613872129536257591722471641945724349715614880388874218960{n}^{21}+1666171804392306587370372756554595679124865933764453609988000{n}^{19}-14433981696350304661854576350275656810505425442225743203012475{n}^{17}+99447831489931487487811403247418779080044659598528594341184200{n}^{15}-528999029854239491152272551677245164111252647603562178862275300{n}^{13}+2090353506168716908909785187253478286148187381807426147791463000{n}^{11}-5824420015587943205838090907578330325872076208564776792836790050{n}^{9}+10622468340170888740526146963654557231303880119728163685514283000{n}^{7}-11300951187008421857204795217254635732813252480702629810935758308{n}^{5}+5725128752759876670970447798005010339436446699764350112410692200{n}^{3}-870115232601617495270823669144599854611114737949993605815147863n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{81}}=\frac{1}{1073380}\left(13090{n}^{82}+536690{n}^{81}+7245315{n}^{80}-763173180{n}^{78}+109133764740{n}^{76}-15551561475450{n}^{74}+2121452906322750{n}^{72}-274498288449495660{n}^{70}+33577377469165876500{n}^{68}-3874813370714375878635{n}^{66}+421059398791373587298625{n}^{64}-43003411429733755051811760{n}^{62}+4119688567238900370946030800{n}^{60}-369409307789338661641353262200{n}^{58}+30935057458281069935005775530920{n}^{56}-2413469984068437260793962379669040{n}^{54}+174965246690695207114937849955694800{n}^{52}-11753455737506587513266341917396737774{n}^{50}+729410353789973846381560307268670790250{n}^{48}-41682262307715076229011064967639314031240{n}^{46}+2185555759623585113442314076906780565251000{n}^{44}-104742584635411820704055967808696938699242460{n}^{42}+4568742662120989533147706004167174718467629300{n}^{40}-180535061570473345429603222182828881464459717800{n}^{38}+6429647183732560138111296559899087389596179360600{n}^{36}-205209730863395889319825391204055744248203221009150{n}^{34}+5832182037694343231289423427944723090085124011304250{n}^{32}-146549049644639423193496346576418138113452444948981104{n}^{30}+3229553789834871900284298661959137664164191054203760400{n}^{28}-61844998185684056590550456053623529187403065006189985528{n}^{26}+1018258868011407834876309592983460710220148293066596009000{n}^{24}-14237624739048750690156588331085974940883237716398988565360{n}^{22}+166617180439230658737037275655459567912486593376445360998800{n}^{20}-1603775744038922740206064038919517423389491715802860355890275{n}^{18}+12430978936241435935976425405927347385005582449816074292648025{n}^{16}-75571289979177070164610364525320737730178949657651739837467900{n}^{14}+348392251028119484818297531208913047691364563634571024631910500{n}^{12}-1164884003117588641167618181515666065174415241712955358567358010{n}^{10}+2655617085042722185131536740913639307825970029932040921378570750{n}^{8}-3766983729002807285734931739084878577604417493567543270311919436{n}^{6}+2862564376379938335485223899002505169718223349882175056205346100{n}^{4}-870115232601617495270823669144599854611114737949993605815147863{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{82}}=\frac{1}{3259410}\left(39270{n}^{83}+1629705{n}^{82}+22272635{n}^{81}-2405444580{n}^{79}+352913083380{n}^{77}-51631184098494{n}^{75}+7236188680470750{n}^{73}-962677096111611540{n}^{71}+121170536084381206500{n}^{69}-14400425810565367071345{n}^{67}+1612981389216184972882425{n}^{65}-169965864222281031871446480{n}^{63}+16816433659712888399435437200{n}^{61}-1559032502365175029638931564200{n}^{59}+135137356265122568663446282582440{n}^{57}-10926436836964379598867211500683472{n}^{55}+822006536339303897577726879980528400{n}^{53}-57384519189002750800065081126113484426{n}^{51}+3706595471300071178551194214487735240250{n}^{49}-220827304566405403851569259083876365825080{n}^{47}+12093408536583837627714137892217519127722200{n}^{45}-606532641260873101286277581031756691537473780{n}^{43}+27746754216295765701311677927746987924352187700{n}^{41}-1152646931565329820819774418551907473965396659800{n}^{39}+43269787804038039848370617389591155675931044886200{n}^{37}-1459920656713873612589614925994568009080074343750810{n}^{35}+44006464466239135290638376774492001497915026630750250{n}^{33}-1177119785855329560489696461210584399685472864267622416{n}^{31}+27729617023064934592096219545787078564720123189542632400{n}^{29}-570348316601308521890631983605639213617161599501529866536{n}^{27}+10141858325393622035368043546115268673792676998943296249640{n}^{25}-154137763479266909645608282366974250446953312668841224033680{n}^{23}+1975603710922306382167727697057592019533769607177852137557200{n}^{21}-21017903171878513805858418194261044127578075643942748874562025{n}^{19}+182077279713183385179889995651524088168611178235541323462903425{n}^{17}-1254483413654339364732532051120324246320970564317018881301967140{n}^{15}+6673051577384750132288929636232257605780752026539091164103516500{n}^{13}-26368737888752688331885175199763713657129945016956898571206558590{n}^{11}+73472072686181980455305849831944020849851837494786465491473790750{n}^{9}-133996992645957002021142571861733537974785707985474039186809705652{n}^{7}+142555705943720929107164150170324757451967522824132317799026235780{n}^{5}-72219564305934252107478364539001787932722523249849469282657272629{n}^{3}+10976057606416779502007546266551136496859632300447308600400157085n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{83}}=\frac{1}{157080}\left(1870{n}^{84}+78540{n}^{83}+1086470{n}^{82}-120272229{n}^{80}+18098106840{n}^{78}-2717430742026{n}^{76}+391145334079500{n}^{74}-53482060895089530{n}^{72}+6924030633393211800{n}^{70}-847083871209727474785{n}^{68}+97756447831283937750450{n}^{66}-10622866513892564491965405{n}^{64}+1084931203852444412866802400{n}^{62}-103935500157678335309262104280{n}^{60}+9319817673456728873341122936720{n}^{58}-780459774068884257061943678620248{n}^{56}+60889373062170659079831620739298400{n}^{54}-4414193783769442369235775471239498802{n}^{52}+296527637704005694284095537159018819220{n}^{50}-18402275380533783654297438256989697152090{n}^{48}+1051600742311638054583838077584132098062800{n}^{46}-55139331023715736480570689184705153776133980{n}^{44}+2642548020599596733458255040737808373747827400{n}^{42}-115264693156532982081977441855190747396539665980{n}^{40}+4554714505688214720881117619956963755361162619600{n}^{38}-162213406301541512509957213999396445453341593750090{n}^{36}+5177231113675192387133926679352000176225297250676500{n}^{34}-147139973231916195061212057651323049960684108033452802{n}^{32}+3697282269741991278946162606104943808629349758605684320{n}^{30}-81478330943044074555804569086519887659594514214504266648{n}^{28}+1560285896214403390056622084017733642121950307529737884560{n}^{26}-25689627246544484940934713727829041741158885444806870672280{n}^{24}+359200674713146614939586854010471276278867201305064025010400{n}^{22}-4203580634375702761171683638852208825515615128788549774912405{n}^{20}+40461617714040752262197776811449797370802484052342516325089650{n}^{18}-313620853413584841183133012780081061580242641079254720325491785{n}^{16}+1906586164967071466368265610352073601651643436154026046886719000{n}^{14}-8789579296250896110628391733254571219043315005652299523735519530{n}^{12}+29388829074472792182122339932777608339940734997914586196589516300{n}^{10}-66998496322978501010571285930866768987392853992737019593404852826{n}^{8}+95037137295813952738109433446883171634645015216088211866017490520{n}^{6}-72219564305934252107478364539001787932722523249849469282657272629{n}^{4}+21952115212833559004015092533102272993719264600894617200800314170{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{84}}=\frac{1}{3183029850}\left(37447410{n}^{85}+1591514925{n}^{84}+22281208950{n}^{83}-2527431801895{n}^{81}+389946620863800{n}^{79}-60071276944068390{n}^{77}+8877199815067884300{n}^{75}-1247051470724398889550{n}^{73}+165996807926527076499000{n}^{71}-20896638359405705360038575{n}^{69}+2483531738182971806889809250{n}^{67}-278181005399304586351098060735{n}^{65}+29313032909419960628306222844000{n}^{63}-2900234938867097817021918641159400{n}^{61}+268877529694283700600033205294112400{n}^{59}-23306377311056520747004784952313126920{n}^{57}+1884420923720710876473287134536372146400{n}^{55}-141766830566265569358613611268823944968270{n}^{53}+9896784336393368873610679197115876043714100{n}^{51}-639255613272499643185319510537271386855423550{n}^{49}+38084839607009920697875593679791880242086922000{n}^{47}-2085681955526063542868573365537595578351451882820{n}^{45}+104605263395435036693945025787606144474807747629000{n}^{43}-4785326189752643856481666159537126991091633540150900{n}^{41}+198790514600762131492856378523021683102737942532442000{n}^{39}-7462496232518929546659087070138990719206288121883363350{n}^{37}+251784280751365631363484256196925824570364881192150224500{n}^{35}-7589546701108251848618709393681448063812977512414601642070{n}^{33}+203011209737183198884342110025630988018628736721272857861600{n}^{31}-4782370634701971956052949182533284806179900011820327930904360{n}^{29}+98364757024845474163030724571155755837262530581973369959008400{n}^{27}-1749109098633677110585469105815713701796892106172209557966990536{n}^{25}+26583270628972003319673585282095379794541530479887880673546844000{n}^{23}-340721228319322587306770817347165786352168184263955902005524987275{n}^{21}+3624839205265422982466381936236491044405173802216582940806998589250{n}^{19}-31401841396600029726122104315804639963183406630956401086802204076275{n}^{17}+216353678241968368789071676665922256094623542204450413722564211963000{n}^{15}-1150863565154611082245128471593687282565436450265083838140310249660550{n}^{13}+4547667486659930506978222866207006356715620161852300224314166192511500{n}^{11}-12671313945404385598627663022628280573970631487556364620668004140226670{n}^{9}+23109705490536599817562380384111346430538455125020090038400143082295800{n}^{7}-24585778496233503379200967118376917667724661312469504677364297978363099{n}^{5}+12455300890033568875493103276894233162541404945578592380476086255345450{n}^{3}-1892978743199496486816107634704468494340572760770214970257813476865995n\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{85}}=\frac{1}{74894820}\left(870870{n}^{86}+37447410{n}^{85}+530504975{n}^{84}-61644678095{n}^{82}+9748665521595{n}^{80}-1540289152412010{n}^{78}+233610521449154850{n}^{76}-33704093803362132150{n}^{74}+4611022442403529902750{n}^{72}-597046810268734438858245{n}^{70}+73045051123028582555582625{n}^{68}-8429727436342563222760547295{n}^{66}+916032278419373769634569463875{n}^{64}-93555965769906381194255440037400{n}^{62}+8962584323142790020001106843137080{n}^{60}-803668183139880025758785688010797480{n}^{58}+67300747275739674159760254804870433800{n}^{56}-5250623354306132198467170787734220184010{n}^{54}+380645551399744956677333815273687540142850{n}^{52}-25570224530899985727412780421490855474216942{n}^{50}+1586868316958746695744816403324661676753621750{n}^{48}-90681824153307110559503189805982416450063125340{n}^{46}+4754784699792501667906592081254824748854897619500{n}^{44}-227872675702506850308650769501767951956744454292900{n}^{42}+9939525730038106574642818926151084155136897126622100{n}^{40}-392762959606259449824162477375736353642436216941229650{n}^{38}+13988015597298090631304680899829212476131382288452790250{n}^{36}-446443923594603049918747611393026356694881030142035390710{n}^{34}+12688200608573949930271381876601936751164296045079553616350{n}^{32}-318824708980131463736863278835552320411993334121355195393624{n}^{30}+7026054073203248154502194612225411131233037898712383568500600{n}^{28}-134546853741052085429651469678131823215145546628631504458999272{n}^{26}+2215272552414333609972798773507948316211794206657323389462237000{n}^{24}-30974657119938417027888256122469616941106198569450536545956817025{n}^{22}+362483920526542298246638193623649104440517380221658294080699858925{n}^{20}-3489093488511114414013567146200515551464822958995155676311356008475{n}^{18}+27044209780246046098633959583240282011827942775556301715320526495375{n}^{16}-164409080736373011749304067370526754652205207180726262591472892808650{n}^{14}+757944581109988417829703811034501059452603360308716704052361032085250{n}^{12}-2534262789080877119725532604525656114794126297511272924133600828045334{n}^{10}+5777426372634149954390595096027836607634613781255022509600035770573950{n}^{8}-8195259498744501126400322372792305889241553770823168225788099326121033{n}^{6}+6227650445016784437746551638447116581270702472789296190238043127672725{n}^{4}-1892978743199496486816107634704468494340572760770214970257813476865995{n}^{2}\right)$ $\sum _{k=1}^{n}{k}^{\mathrm{86}}=\frac{1}{2612610}\left(30030{n}^{87}+1306305{n}^{86}+18723705{n}^{85}-2228120895{n}^{83}+361061685985{n}^{81}-58491993129570{n}^{79}+9101708627889150{n}^{77}-1348163752134485286{n}^{75}+189494072975487530250{n}^{73}-25227330011354976289785{n}^{71}+3175871787957764458938375{n}^{69}-377450482224293875645994655{n}^{67}+42278412850124943213903206025{n}^{65}-4455045989043161009250259049400{n}^{63}+440782835564399509180382303760840{n}^{61}-40864483888468475886039950237837160{n}^{59}+3542144593459982850513697621308970200{n}^{57}-286397637507607210825482042967321100946{n}^{55}+21545974607532733396830215958887973970350{n}^{53}-1504130854758822689847810613028873851424526{n}^{51}+97155203079106940555805085917836429188997250{n}^{49}-5788201541700453865500203604637175518089135660{n}^{47}+316985646652833444527106138750321649923659841300{n}^{45}-15898093653663268626184937407100089671400775880900{n}^{43}+727282370490593163998255043376908596717333936094300{n}^{41}-30212535354327649986474036721210488741725862841633050{n}^{39}+1134163426807953294430109262148314525091733699063739750{n}^{37}-38266622022394547135892652405116544859561231155031604918{n}^{35}+1153472782597631811842852897872903341014936004098141237850{n}^{33}-30854004094851431974535156016343772943096129108518244715512{n}^{31}+726833179986542912534709787471594254955141851590936231224200{n}^{29}-14949650415672453936627941075347980357238394069847944939888808{n}^{27}+265832706289720033196735852820953797945415304798878806735468440{n}^{25}-4040172667818054394941946450756906557535591117754417810342193525{n}^{23}+51783417218077471178091170517664157777216768603094042011528551275{n}^{21}-550909498185965433791615865189555087073393098788708790996529896075{n}^{19}+4772507608278714017405992867630638002087284019215817949762445852125{n}^{17}-32881816147274602349860813474105350930441041436145252518294578561730{n}^{15}+174910287948458865653008571777192552181370006225088470165929468942750{n}^{13}-691162578840239214470599801234269849489307172048528979309163862194182{n}^{11}+1925808790878049984796865032009278869211537927085007503200011923524650{n}^{9}-3512254070890500482742995302625273952532094473209929239623471139766157{n}^{7}+3736590267010070662647930983068269948762421483673577714142825876603635{n}^{5}-1892978743199496486816107634704468494340572760770214970257813476865995{n}^{3}+287698270306136904518928437444054174631737205042918409501785156292605n\right)$